第735章 宇宙

『令数以此道相加：两数之和，其左集为每数之左部与另一数之和，同理右集成于右部，依其类分。』

『康威证得，万数加零，其和不变。夜去昼来，是为第三日。』

万物混沌苍茫，从空集之中无中生有创造诸数。

虽然这些数的定义与皮亚诺公理完全不一样，但后继数的有序概念却是类似的。

从最初的零开始，在数的边界处不停地创造新的数，最终创造出所有的整数。

但仅有这种后继关系并不完善，康威在第三日定义了这种新规则下数的加法运算。

或许表面上和皮亚诺公理看起来一样，但这些数的本质定义却是完全不同的。

这种规则下的每一个数都是一对数集，数的大小有序性和无缝连续的数轴上每一个点的左右关系是彼此对应的。

“左部与另一数之和，右部与另一数之和？”

阿基里斯蹲在这块貌不惊人的黑色大石头前，一手撑着下巴注视着上面的雕文，另一只手的食指将沙滩上柔软细腻的沙子推开，在沙滩上留下一道道痕迹。

“两个数分别是x和y，x=(xL丨xR)，y=(YL丨YR)，其中大写的x和Y代表的是定义数的数集。”

“根据这块石碑上定义的加法运算规则，x+y=(xL+y)u(YL+x)丨(xR+y)U(YR+x)”

“…好复杂。”

阿基里斯转头看向沙滩上用手指写下的这一堆符号，接着又抬起头看向身旁的烧烤架。

一只长得很别致的棘皮动物在烤架上面挣扎扭动，黄褐色的触手在赤红色的火焰中滋滋作响，长着近似于人类眼球的头部区域发出惊恐的哀嚎声：

“伟大尊贵的未知存在，吾愿意成为您永生永世的仆人，请您务必不要吃掉我！”

看起来长得像个没脑子的混乱生物，真到了要被人当做盘中食物吃掉之时还是很有求生欲的嘛。

“不行，你太蠢了。”

李恒摇了摇头，轻轻吹了口气，赤红色的火焰就将这只长得像是棘皮动物的怪物彻底烤熟。

他闻了闻这只奇怪的小生物散发的香味，抬头看向蹲在石碑前的阿基里斯笑着道：

“如果这些公理规则也能像是吃东西一样轻松简单就好了。”

“把复杂的运转过程都交给自己的身体细胞，将这些公理规则的力量交给身体本能的直觉，自己的主观意识只需要认知其中想要知道的那部分。”

“烧烤架上的这只小东西就是一只这样的生物。”

“单纯以力量而论，它身体内部容纳着不可数无限集合的力量，包含了定义全体实数的公理规则。”

“这些公理规则创造了无数的宇宙与文明众生，构成了一个能与实数集形成一一对应的庞大世界。”

“你我一路上所见的毕达哥拉斯、康托尔等等，甚至于现在的你和你眼中见到的这个我，都可以在它的体内世界中找到。”

“但这只蠢东西的脑子并不理解自己身体拥有的力量，只掌握了草履虫一样简单的本能。”

“偷懒的想法是人之常情，我并不觉得这有什么不好，能轻松简单一些，没必要去掌握那些复杂的东西。”

“但是，注意，我这里说的是人。”

李恒从这只被烤熟的奇异生物的身体上摘下一块塞入口中，露出了那口锋利雪白的尖锐牙齿。

除了头发的颜色和眼睛的颜色，这一口鲨鱼般的锋利牙齿是他和阿基里斯的外貌最大的不同之处。

“有限的凡人在我眼中智慧并无高下之别，无论是纵横宇宙的文明级生命体还是只能进行简单生命活动的草履虫，都是图灵度为0的笨蛋。”

“我可以允许有限的凡人用一颗普通，甚至可以说是愚蠢的大脑，掌握长生不死、破灭星河，生灭宇宙的力量。”

“但我不允许这颗愚蠢的大脑跨过有限和无限的屏障，掌握无限领域无中生有的力量。”

“既然想要做个无知的凡人，那就做好自己的定位，明白自己拥有的一切都来自于自然世界，是无限的宇宙赋予了自己这一切。”

这种想法一如既往。

在没有涉及到无限领域的时候，他以人类社会中常用的“智能水平”作为基础，把智慧生物的智力水平进行量化。

那些庞大的文明级生命体天然就拥有更多的权力，就像是人比猫狗更聪明，所以天然就拥有动物所没有的人权一样。

但到了无限领域，过往这些有限生灵的差异在无限的壁障面前就什么都不是了。

牙齿微微用力，李恒将口中的食物碾得粉碎，吞下血肉之中容纳的公理规则与无数宇宙。

就像是以前吞吃其他东西一样，一切进到他体内的食物都像是进入了一个无底洞中，化为了微不可见的无穷小的物体。

比起会因为吸入物质而变大、变重的黑洞，这种表现才更像是理想中的黑洞与奇点。

李恒抬起头，露出一个和善的笑容：

“我不喜欢世间存在像是这只蠢东西一样，明明智慧并不比自己体内宇宙的纸片人更高，却高高在上的做着无所不能的神。”

“人就是人，不能窃取无限的神的力量和权力。”

“想要成为神，那就必须放弃凡人孱弱的思想，彻底踏入那个无限的世界。”

“这一点对你当然也不会例外。”

人类社会中的法律不会允许蚂蚁的权力凌驾于人类的权力之上。

强大与弱小、聪明与愚蠢的差异客观存在，阶级层次也客观存在。

只不过在他的眼里，没有人类社会那么多复杂的层次划分，世间一切有限的凡人都是一无所有的穷鬼。

如果想要以有限的思想掌握无限的力量，那就会像是烧烤架上这只长得很别致的蠢东西一样被他整个吞掉。

阿基里斯一点也不在意这种恐吓，只是淡定地努了努嘴道：

“那只别致的小东西给我留一点，我把这块大石头上写的规则弄明白了就过来吃。”

她转过头，重新将注意力集中在大石头记录的加法规则上。

“每一个数本质上是一对互斥的集合，那么将两个数相加，就是将对应的集合相加。”

“对于集合论来说，加法就是两个集合的并集…”

“嗯，找个例子看看。”

“1+1，1=(｛0｝丨?)”

“按照这个加法规则，1+1得到的新数左部是数集｛0+1，0+1｝。”

“0+1得到的左部是{0+0}，0+0得到0，所以左集就是{1}。”

“至于右部，两个数的右集都是空集，所以结果依旧是空集。”

“1+1=(｛1｝丨?)，这个数无疑就是2。”

“按照这个规则，从空集中创造出了0和1，还可以定义一个在0和1之间的数a=({0}丨{1})。”

“用加法计算a+a，新的数是(｛a｝丨｛1+a｝)。”

“a这个数是在第3日创造的，这一日在a和1+a之间，只有第2日创造的唯一的一个数1。”

“2a=1，a=1\/2。”

“1\/2，-1\/2，2，-2，这四个数都是在第三天诞生的。”

每一个数诞生的先后顺序很重要，后续的数只能以前面诞生的数为基础进行创造。

最开始的第一天只有无中生有的0，第二天创造了1，-1，第三天创造了2，-2，1\/2，-1\/2。

很好，这样就把第三天的规则弄明白了。

『令负数之集为原数另集之负数所成，令减去一数等于加其负数。』

『康威证得，减法为加法之逆。夜去昼来，是为第四日。』

“加法之后是减法，减去一数就是加上负数，这个简单。”

阿基里斯看着海滩上的数轴，上面的数字在她的指尖下一个个诞生。

它们按照被创造出来的时间和大小有序排列，看起来就和普通的实数轴没什么太大区别。

“1-1，1=({0}丨?)，-1=(?丨{0})。”

“两者相加，得到的新数是…咦？”

阿基里斯突然眨了眨眼睛，粉色的瞳孔中闪过一丝惊奇的色彩。

她一直以为这种新的规则只是在实数的基础上增加了无限大数和无穷小数。

但她这时却发现，只是涉及到减法的时候，好像就有一些与常识中不太一样的地方出现了。

在普通的标准分析中，1-1=0是毫无疑问的正确结论，一个数减去其自身当然就是等于0。

按照这种新的定义规则，1-1得到的数({-1}丨{1})。

但0却被定义为(?丨?)。

在这种全新的定义规则下，一个数减去自身的结果不是严格等于0。

一手撑着下巴仔仔细细地重新回顾了一遍石碑上的雕文，阿基里斯若有所思地道：

“原来如此，这上面写的不是不是小于等于，而是小于或相似于。”

“在标准分析的数学中，x≤y且y≤x，就能推出x=y，两个数是严格的相等。”

“但在这种新的规则下，这个前提却并不能得到同样的结论。”

“这样的话，除了0以外，一个数减去自身并不等于0，不能用＝符号，只能用这个『≡』相似于的符号。”

她发现自己似乎想的有些太简单了，以为这种新的定义规则只是为了应对无限大数。

虽然引入这一规则主要目的就是为了能定义那些涉及到实无限的数，但全新的基本规则显然也会改变原来常识中的有限数。

比如这个在实数范围内并没有的所谓相似于“≡”的性质。

阿基里斯一直想着用这种新的规则去创造熟悉的数，整数、分数等等。

她却忘了这种规则下的数与自己过往常识中认知的数根本不是一回事。

回头重新看去，许多被她下意识忽略掉的新数也都不一样了。

比如({-1}丨?)和(?丨{1})这两个数，它们同样出现在第三日，在1和-1被创造出来之后诞生。

根据石头上的规则，这两个数均满足x≤0且0≤x，但定义它们的数集却与0不一样。

类似的，还有({－1\/2}丨?)，({-2}丨?)等等数也都能满足这个条件。

更准确的说法应该是相似于，用符号≡表示。

0只有唯一的一个，但相似于0的数却有无限多个。

不过目前看起来这种差别也并不太大。

至于({0}丨{0})，它不满足康威的第一条规则“左集中没有一个元素大于或等于右集中的元素”，所以它不是一个数。

目光聚焦在第一条规则上，阿基里斯突发奇想地道：

“如果不遵循第一条定义数的规则，比如创造一个({1}，{0})，这东西又会有些什么样的性质？”

这肯定不是一个数，它左集中的元素比右集中的元素还要大，在数轴上根本不可能找到它。

但它又可以与其他的数比大小。

根据第二条规则，甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一小于或等于甲数。

将({1}，{0})与其他的数比较，比如2=({1}丨?)。

甲数的左集最大元素是1，小于乙数2，乙数2的右集是?，不小于或等于甲数。

于是就能得到({1}，{0})＜2的结论。

明明是在数轴上完全找不到的数，却能与普通的数比较大小。

这种数未必就完全没有意义了。

它和常规的数的关系可能就像是负数和正数、无理数和有理数、虚数和实数的关系一样。

负数看起来没有什么对应之物，无理数这种不成比例的量完全只是想象，虚数更是完全不符合常识。

但这些纯粹存在于想象中的概念，说不定就能在哪个地方用上。

仔仔细细看了一遍石头上的规则，阿基里斯转头看向不远处的烧烤架问道：

“根据石头上的这些规则，我似乎无法创造出1\/3这样的分数？”

既然这种全新的公理规则是实数域的扩张，那应该包含了所有的实数才对。

第一天是0，第二天是±1，第三天是±1\/2，±2，第四天是1\/4，3\/4，3\/2，3以及各自的负数。

到了第n天，总共创造出了2^n-1个数。

用这种规则创造分数的方式就好像是芝诺的二分法一样，用新出现的数作为刀刃去切割数轴，得到更多的数。

“只是二进制和十进制的区别罢了。”

李恒将烤架上仅剩下了一条触手的小生物扔给了蹲在石头前面的阿基里斯。

“康威创造数的方式就像芝诺的二分法，使用的其实是二进制，当然只会出现1\/2、1\/4、1\/8这样的分数。”

“但这种区别仅在有限的世界有用。”

“你现在创造的二进制数，都只是数位有限的二进制数。”

“想一想1\/3的二进制表示，再想一想0.99…，你觉得这些尚未出现的分数会在哪一天出现？”

1\/3的二进制表示？

阿基里斯一手接过那条香喷喷的触须，张嘴咬了一口，另一只手的指尖在脚下的沙滩上划过。

1\/3=0.0…，这是一个无限循环小数。

“无穷？实无穷？”

是了，第n天创造出了第2^n-1个数字，那么如果n取?0，最终就创造出了2^?0个数。

这些尚未出现的十进制分数会在那一日与实数中的那些不可定义数一同诞生。

也是在这一刻，阿基里斯发现石头上显现出了新的雕文。

『万数创生，无穷日逝，而宇宙现形。夜去昼来，是为第?日。』

在第?日，康威创造出了全体实数，一个不可数无限的庞大数字宇宙。