第72章 数学省赛

物理初赛成绩张尧三人都没关注，这段时间为了这次数学省赛他们又进入最后的冲刺。

为了避免被打扰，他们把图书馆教室门都关上了(对此老师的态度是教不了，学生则是惹不起这三个神仙)。

三人搜罗了一切值得他们现阶段去做的数学竞赛题目。一道题给自己半个小时的时间，用尽一切方法去做，哪怕做不出来也要把思路全部列出来，能解到哪一步是哪一步。

平面几何、解析几何、立体几何、 函数、三角函数、数列、方程和多项式、不等式、排列组合、杂题(包括组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题)。一共分成10类问题来考虑。

一天每类两道题，剩下的时间用来总结归纳！归纳他们做的过程中遇到的问题，那些题用到了比较新颖的解题方法，一些不常考到定理。

就这样一直到9月15号，三人才停止了这一行为。他们要把这些题所学全部融合到一起去。

这些天对于这些题的研究榨干了他们的cpu。

单竞赛的一个平面几何分类就能用到多达72条不同的定理公式。以他们现在的记忆力记住这些公式并不难，但想灵活运用却并不容易。

最难的还是不同题目的交汇之处，不等式和构造函数是其中举足轻重的的存在。

三人现在已经走到了天才的门槛前了。果然数学只属于天才的领域。

真的难以想象数学王子高斯是如何一个晚上解决一个猜想的。

张尧几人在最后几天时，感觉自己已经很强大了。尝试着去解一个微不足道的猜想。但哪怕三人苦思冥想很久，也差的很远。

他们当即就停止了这一行为！这些问题离他们现在还是太远了。

可喜可贺的是，他们现在数学竞赛国决的题目也能尝试着去做了。如果放在之前这种难度的题他们碰都不能碰！

果然交流才能带来更大的进步，这时张尧终于知道竞赛为什么要有冬令营和夏令营这样的活动了。

这是给一群天才学生去进行思维和灵感上的碰撞！他们相互学习，相互借鉴，相互比较才能激发出他们全部的潜力。留到最后的人一定是最强的！

张尧三人何其有幸能提前就得到这种进步，三人根基差不多，所以在一起学习时才能共同进步，此时就算有一个远超他们基础的人带着他们学，也远比不上他们相互促进。

后来也证实了他这一观点是对的。

数学省赛这天是礼拜天，一共分两场，在珠城二中举办的。

这座城市与张尧有些不解之缘。

吴老师这次也跟了过去。说起来这还是她第一次作为指导老师跟着去数学竞赛省赛赛场。

张尧三人现在都水平她已经完全教不了。这三人一路走来她基本上就没帮到忙。

不过谁又会说她不是呢！你敢说他们的基础不是她教的！

那不就得了！ 好像说其他人能帮到一样！

吴老师对三人都态度已经越来越温和了，说话温声细语的，甚至带上了叠字和哈。

听起来有种夹子音的感觉。

这一点吓坏了王浩三人。他甚至对吴老师说道：“老师，你能切换成以前吗？你这样崩人设了！”

结果吴老师脸色一变，怒吼道：“都给我好好考！考不好，你们回来走着瞧！”

王浩这时摸了摸胸口说道：“舒服多了！”

另外两人也有点接受无能！这实在太恐怖了。

其实吴老师这样也不是没理由的，现在这段时间在评高级教师职称。

她这些年的成绩在这边。也不算差，但和别人一比也没太大优势。

她可听说，生物王老师是才来的老师，这次就板上钉钉了。如果不是资历太浅，直接升到特级教师都没问题。这多亏了其中两人的福。

现在如果他们能在数学省赛上有所斩获，她也能多个优势。

谁说老师之间就没竞争，人活一世就免不了要和别人去比。她能遇到三人是她的运气。

谁说运气不算实力的一种呢！

她都这样了，王浩这个死小子还不满意。哼！

张尧三人如果知道王老师能评上高级教师一定会扶额。

这催眠大师要升级了！

不管了！反正他们不听他的课了。

学弟，学妹们，你们自求多福吧！

这次数学省赛，张尧三人这次并不在一个考场。数学省赛考试分两场。

第一场考试在上午的八点到九点二十。一共有八道填空题每题八分，三道大题，第一题十二分，后两题20分，满分一共120分。

这张试卷和张尧初赛做的类似，难度要再上升一个档次。

整张试卷最难的是一道集合题，对于整数n≥4，求出最小的整数 f ( n )，使得对于任何正整数 m ，集合（ m , m +1,..., m +-1）的任一个 f ( n ）元子集中，均至少有3个两两互素的元素。

这题考到了素数和集合相结合的问题，难度比较大。

素数一项是数学猜想中的难点，不过这题和猜想没法比。只不过需要做题者足够的细心，需要考虑情况有点多。这题是耗费张尧时间最长的一道题。

不过这种题有一种好处，只要能想起来怎么写，写出来就大概率没问题。

数学竞赛很难会空很长时间，大部分学生都是打铃之后才选择交卷。

已经放弃的除外。

这张试卷考完之后，下一场就在九点四十，这场属于附加赛。这些题目就属于那种和高考完全脱钩的题目了。

如果不选择走竞赛这条路，这些题都可以直接放弃了。

第二场从九点四十到十二点半。一共三个小时不到，满分180分，一共四道题。前面两题各40分，后面两题各50分。

看起来时间比较宽裕，但给的时间越长题目越难！

二试的每一道题都非常的简练，其实这不是一件好事。所有的题目都分三个方向来考学生，一是审题，二是思考，三是计算。

有些题看着一大串字，这种题却并不可怕。因为它的难度大部分都集中在了审题上了，只要你能把题目搞懂，题目做起来还是不难的！

有些题题目非常简练，这样的题就要小心了。因为它的难度可能集中在后两项中。

第一题考的是三角形和不等式

题干设三角形 Abc 三边长为 a , b , c ，有不等式

∑（ b - c )2≥1\/3∑b＋c\/a(b-c)2,试证不等式1中的系数1\/3是最优的。

这题需要将系数1\/3一般化，设为k然后证明k的取值范围≤1\/3就可。这题在第一题难度相对不大。

第二题求一切实数 p ，使得三次方程5x3-5( p +1)x2+(71p-1) x +1\\u003d66p

这题难度也不太离谱，假设法设未知数，最后求得 v \\u003d17或59, u \\u003d59或17, p \\u003d u + v \\u003d76，即当且仅当 p \\u003d76时，方程三根均是正整数：1,17,59

从第三题就有点不好搞了，这是一道数列题。

设 a \\u003d1,a2\\u003d2.an\\u003d2an-1+ an-2 ， n \\u003d3,4,...。证明：对整数 n ≥5, an必有一个模4余1的素因子。

这题张尧花了不少时间，数学归纳法在这题上用的出神入化，另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。

求解过程相当复杂，就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。

最后一题是考的是染色问题，染色问题属于杂题，但在猜想中与其相关的不少。

题干为能否把1,1,2,2,3,3,...,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，...，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论

证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个。证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个

现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是993个偶数，占据白点 A ,\\u003d993个，黑色 b ,\\u003d993个．

993个奇数，占据白点 A ,\\u003d2a个，黑点 bg \\u003d2b个，其中 a + b \\u003d993.因此，共占白色 A \\u003d A ,+ A ,\\u003d993+2a个．

黑点 b \\u003d b ,+ b ,\\u003d993+2b个，

由于 a + b \\u003d993（非偶数！) a ≠ b ，从而得 A ≠ b ．这与黑、白点各有1986个矛盾．故这种排法不可能．

这题其实比上一题要来的简单，不过染色问题很少做最后一题考，一下子遇到还是有点难办！

这张试卷写完后，张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大，不比往年要难。只能说差不多罢了。

也不怪张尧这样想，他参加的竞赛太多了，有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。但其实也不尽然，有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。

写完后大概还剩三十分钟的时间。张尧把真张试卷都检查了一下，尤其检查是不是有笔误，数学试题的解答过程很长，如果出现这种错误，对评分影响很大。

检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试，最好用的莫过于反证法。一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。

但张尧没把最后的结果写上，这只是他的一种尝试而已，并不完全正确。所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。