第98章 IMO上

每年举办数学国际赛—Imo是一场的盛事，参赛国家众多，每年赛场上都会汇聚了数学界最顶尖的青年学子。

由于今年是该项赛事的六十周年，主办方还邀请来相当一部分获得过数学大奖的名人，其中包含了一部分菲尔兹奖的得主。

Imo一向都是数学界的诺奖菲尔兹奖的摇篮，大多拿过菲尔兹奖奖项的数学家在年轻时都曾获得过这项赛事的金牌。

张尧比较熟悉的有陶哲轩和舒尔茨(2018年菲尔兹奖得主)，还有丘成桐老先生和德利涅子爵，爱德华·威滕。

可惜的是，没有见到费马大定理的证明者—怀尔斯先生。

今年的Imo举办地在高卢国，而且在那个最梦幻的城市—巴黎，这是一个充满了浪漫色彩的城市。

张尧他们提前好几天就来到了这里，毕竟时差问题还是值得重视的。还有带队老师准备给他们再考前加训一下。

这里不是和之前一样再花很长时间来做题，而是去研究今年出题者的喜好。

简而言之就是押题！

虽然题目很难被押中，但哪怕只押中一星半点相关的东西也是有益处的。

华夏人就是严谨，只要是考试一定竭尽全力！

其实在之前举办的几次集训里，张尧的每一次都是满分！而且每一次的题目他都至少给出了两种方案。

包括王浩和姜复每次的集训也是满分成绩，这让这次的带队老师信心满满。

这是他们最强的一届！

但真到了这里，带队老师又不自信起来，不过这一切在他看到一样东西后彻底放下心来。

是的！张尧的论文终于刊登出来了！

这一好消息还是上层通知给的带队老师，这一刻这些老师才明白眼前这个学生已经走到了何种地步！

现在就能在数学四大顶刊上发表论文一定都是牛人。

研究数学猜想被过稿，这是何等的天赋！如果他能把这个命题解决，未来的数学家里绝对有他！

张尧有点没搞懂，为什么原本还很焦躁的老师突然镇定下来了。好像是有什么给他们兜底一样！

谁呢？当然是你啊！大兄弟！

有你在，没意外！

保底都有了，还怕什么！

Imo考试一共分五天，第一天是开幕式，就是主要听各种人士发言，以及大会请的一些教授来开科普性质的讲座！

就像张尧最近在研究的路染色问题也是有人在说的，只不过那位教授并没有说的太深，目前他说的东西张尧全都已经得出来了。其中最核心的那个点，教授也不知道。

他还选择性的去听了有名的一些教授的讲座，但发现大多是浅尝辄止后，就没继续听下去，这些东西他看论文也能得出来，现在花时间在这方面有点太浪费了。

也有一些教授说的比较深入，就像丘成桐老先生说他解决的卡拉比猜想，还有爱德华·威滕先生的弦论。这些东西张尧听的很认真，也做了一些笔记。

单这些东西就足够张尧不枉此行了！

考试一共分两天，每天四个半小时，三道题，每题6分。

第二天的考试接踵而来！

第一题对每个整数 a0＞1，定义数列 a0 ,a1,a2,…如下：对于任意的 n ≥0.....试求满足下述条件的所有 an ：存在一个数 A ，使得对无穷多个 n ，有 an \\u003d A .

这题很容易，不说和冬令营的题目相比，就连国决难度都比它强。

假设 a 0的值满足要求，则 a 0模3的余数不等于2．否则数列 ao , a ,……中的每一项都模3余2, a \\u003d a 0+3恒成立，则数列（ a ）中的项互不相同，矛盾...

这道题看题解题加起来连二十分钟都没用到，就结束战斗了。

吓的张尧赶紧检查一下是不是有什么遗漏的点，但当他用第二种方法解除相同的结果后，他就知道这道题一点问题都没！就是这样！

接着的第二题考的也不难

求所有 f : R → R ，使得对于任意的实数 xy ,

均满足 f ( f ( x ) f ( y ))+ f ( x + y )\\u003d f ( xy ).

这个问题别说张尧了，就连小队的其他人也是没有问题的，甚至就连之前淘汰的学生做这种题依然没有问题！

求所有 f : RR ，使得对于任意的实数 ,

取 x \\u003d y \\u003d0，记 f (0)\\u003d c ，则 f (0)\\u003d c ．若 c \\u003d0，取 y \\u003d0,

则 f ( x )\\u003d0对任意的实数 x 均成立，则了（ x )\\u003d0，经检验符合要求．

若 c ≠0，取 y \\u003dc2，则 c + f ( x +c2)\\u003d f ( c \\u0027 x )，于是 f ( x +e2)* f ( e \\u0027 x ）恒成立，这说明关于 x 的方程 x +c2\\u003dc2x无解，故c2\\u003d1, c \\u003d±1.

若 c \\u003d1，则／(0)\\u003d1, f (1)\\u003d0且 VxeR , f ( x +1)\\u003d f ( x )-1....

简单来说还是分类讨论的思想，看着过程很多，但难度却不大，这题的难度连国决的第一题都不配！

张尧依然是用一种方法解答，一种方法验算，只要结果相同，他就完全不用操心正确率问题！

第三题就没这么容易了，一般来说第三题也是每天最难的一道题。

一名猎人和一只隐形兔在欧式平面上玩游戏，兔子的始点 A ，和猎人的始点 b ，相同，经过 n -1轮游戏后，兔子在点 A 而猎人在点 b ，在第\\\轮游戏后.....

问是否存在这样的可能，不论兔子怎么移动，并且不论追踪设备报告了什么点，猎人总可以选择他的移动方式，使得经过10°轮游戏后，猎人与兔子之间的距离不超过100.

这题看上去考的是概率问题，但实际上并不是如此，用组合方法来做这道题很容易掉到坑里去。

这题最好用的其实是反证法，最后只要得出的结论与公理，定理相违背，就一定是错的！

事实上结果确实也是不可能！这道题让张尧难得起了兴趣，他先用反证法证明出结果，再正向用另一种方法证明！

首先，第一次让追踪设备报告点 R \\u003d A ，那么不管猎人如何移动都有可能与兔子移动方向相反，此时距离 A1b 1\\u003d2

假设第 s 步之后 Asbs\\u003d d ≥2，对于整数 n ≥2d，兔子要么经过直线 cc ,… c 到达 c ，要么经过直线 d , d … d 到达 d ，追踪设备报告的点依次为ppp ...

但这两种方法写完张尧还没尽心，他总觉得这道题还有其他的证明方法。

于是他先从他最熟悉的方法下手，把染色概念引入这道题，把到他之前看的某篇论文中的方法应用进来！

不妨设隐形兔走过的路线染色点a，把猎人走的路线用设为染色点b...

这道题依然能得出来最后的答案！

但这种方法写完后，他还剩两个小时的时间！

没办法！前两题太容易了！加起来一个个小时就结束了！而且题目比较古板，没什么其他方法好用。

反而这道题充满了无限的可能性！张尧把又从脑中翻出了一种方法。

最后证着证着，他发现居然用组合方法也能证明出来！不同于常规组合的解题思路，去分类讨论可能性。

这还是他从陶哲轩的论文中看到了一种新的定义方法！居然和这道题切合度这么高！张尧一开始做的时候还没发现，但做着做着就感觉熟悉，没想到这题居然还能这么做！

在张尧把四种方法一一写在答题纸上，然后又在草稿纸上演算了另一种可能性，但却放弃了。

因为他准备交卷了，虽然还有半个小时，他却不准备再写下去。

没有必要，炫技已经炫的足够多了！再做下去就不礼貌了！

第一天的试题难度确实不大，张尧交卷的时候已经交了一半的学生了。王浩和姜复更是已经在外面等着他了！

看到张尧出来，他们不用问也知道这种题张尧不可能出问题，只是不知道他被哪道题迷成这样！居然这时候交卷！

正当张尧准备和他们交谈时，不速之客出现了，在张尧前提前几步出来的学生正用一种蔑视的眼光看着他！

他大放厥词道:“今年华国的水平不行，他们的队长居然这时候才结束！比他还差点！一年不如一年了！”

张尧抬头望去，居然是樱花国的一名选手！说这句话的时候他是说的英语，但和旁边的再交流时他自己切换成了日语！

这时奥国的选手也道:“今年试卷太容易，搞不好他这种水平还能混个满分，果然Imo也没意思了！明年我还是不参加了。”

米国选手也道:“是啊，要知道今年是这个水平我也不来了，还不如去普林斯顿上学！我都拿了一届金牌了，这届实在没意思！”

见他们如此说，姜复和王浩先忍不下去了，姜复道:“看来阁下对这次的满分势在必得了？”

日本选手道:“那是当然！”

王浩道:“既然阁下如此有信心，我就和阁下比比吧！”

“比什么？”

姜复道:“就比谁能两天都得满分！输的以后看见对方，请绕道。”

日本选手道:“比就比！谁怕谁！”

这时美国选手也加入了进来道:“往年如果出现满分成绩过多，为了评选出最佳选手都会有附加分出现，附加分不列入总分计算，但每年只有一个人能拿到这个分数，有人敢和我比这个吗？”

张尧这时候起了兴趣，“附加分？有意思，既然如此我和你比怎么样？”

“你？”

“没错，就是我！”张尧道。

“那赌注是什么？”美国选手道

张尧看着他道:“今年的金牌怎么样？”

美国选手正式起了眼前这个笑容满满的学生道:“好胆量！比就比！”他可是最后一题可是用了三种方法写的，没有人比他更强了！

张尧和王浩他们回到酒店后，带队老师也上前问他们试卷详情，在得知张尧他们的结果后，都放下心来。

至少第一天大家都没问题！

回到房间后，姜复道:“尧哥，你最后一题用了几种方法啊？”

“你怎么知道我在这道题上花了很长时间？”张尧道。

王浩这时候翻了个白眼道:“因为就这题有可做性，其他题不配！”

张尧自然不会瞒他们两人，于是道:“我用了四种方法，分别是.....”

姜复听完后道:“前三种我也想到了，但最后一种我没听懂！”

王浩也道:“前三种方法我也写出来了，最后那种是怎么来的，不是这题不能用组合方法写吗？”

张尧和两人解释原因，常规组合方法确实不好写，但如果吃透了陶哲轩前段时间才发的那篇论文的话就不难理解。只不过想看懂那个论文也不容易就是了！

在张尧的悉心讲解下，配合着陶哲轩的论文他们终于搞懂了最后那个方法。但没想到张尧居然又道:“其实这道题还有其他方法，用拓扑学和几何方法相结合也能做出来，只不过我当时不太想写这个方法！”

“为什么？”

张尧摇了摇头遗憾道:“空白太小！写不下！”

“靠！”

其实这个方法，他在草稿纸上已经开了个头，也写了最后的结论。不过草稿纸也写满了，他又不想再去要了，就没把中间过程写出来！

另一边的Imo阅卷小组正在紧锣密鼓的批阅着今天的试卷。这时里面突然进来了一位数学界的大牛。

阅卷组组长道:“陶教授你怎么有兴趣到这里来啊？”

陶哲轩笑道:“我来看看这一届学生的质量如何？”

这时另一位老师道:“那你可来的不巧，今天的题难度不大，应该分不出什么差距出来，就连最难的那道题也不过是有人多用了几种方法而已！”

“哦？最多有用了几种方法的？”

陶哲轩是个数学天才，所以学数学都喜欢一题多解，不为了别的只为了数学美感而已！

这是一个很神奇词语组合，数学和美感！

数学的美感就是足够的简练！证明过程足够的言简意赅即可。用最简单的东西证明最复杂的数学问题，是所有数学家最梦寐以求的！

数学组长道:“目前最好的是用到了三种方法，而且证明过程都没问题！应该是最多的了！”

陶哲轩扫了一眼题目，以他的能力做这种题目，简直就是大学生看幼儿园数学那样容易！题目读完他就发现了不下四中方法！

另外一种太复杂就是是他也不愿意这样去解，如果那样写就和写个小学方程用微积分一样，就只是为了炫技！

陶教授摇了摇头道:“如果只是这样，这一届看来也就这样！”

天才数学家都是孤独的，陶哲轩也是如此，从小到大就没几个人能跟的上他的节奏，就连老师也不行。

所以他今年才有兴趣来这里看看有没有什么好苗子，这样一看也不过如此！真是可惜了！

正当他准备离开时，有一位阅卷老师突然惊呼道:“组长，你过来看，这是什么方法？这种方法参考答案上没有！”

阅卷组长正尴尬着，听到这句话犹如天籁！他赶紧道:“陶教授，能否请你一同去看看这位同学的试卷？”

陶教授也来了兴趣，不知这个学生的答案能否给他点惊喜！