第四十九章 杨辉三角

杨辉三角形，一目了然，每个数等于它上方两数之和。

研究过《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》这些算法的楚衍说：“我发现了一个奇特三角，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。”

1050年写过《释锁算术》的贾宪说：“这个三角第n行的数字有n项。”

1261年，写过《详解九章算法》的杨辉说：“这个三角形前n行共[(1+n)n]\/2 个数。”

1303年朱世杰说：“第n行的m个数可表示为 c(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。”

1427年，写过《算术的钥匙》的阿拉伯人阿尔·卡西说：“第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。”

1527年德国人阿皮亚纳斯说：“每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 c(n+1，i)=c(n，i)+c(n，i-1)。”

1544年，写过《综合算术》的德国人米歇尔.斯蒂费尔说：“这是二项式展开式系数，其中(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应三角的第(n+1)行中的每一项。”

斐波那契说：“将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。”

1545年法国的薛贝尔说：“将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1x10^1=11，11^2=1x10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3x10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1x10^5=。”

1654年，写过《论算术三角形》的帕斯卡说：“第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。”

这个被欧洲人称之为帕斯卡三角形。

1708年的pierre Raymond de montmort说：“斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。”

1730年的亚伯拉罕·棣·美弗说：“将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。”

后来人们也称呼这是中国三角形。

二维的杨辉三角有多项式系数，晶体晶格，单形的点线面或者是四维体，五维体等等这样的有价值的东西。其中是亏格为0的欧拉定理。对图论有重大帮助。对很多等差，甚至一级数列、二级数列等等有重要研究。

那三维的杨辉三角，肯定会有更加重要的信息。

高维的杨辉三角，肯定更加有价值。

或许轻松包括斐波那契数列，包括多亏格多面体的点线面等复杂信息。

或许杨辉三角是任何一个数学的终点。

近下来，就需要解决高维杨辉三角的数列问题了。有没有一种简单的办法来。

其中一个最重要的问题，就是二维的杨辉三角是否可以解决高维的杨辉三角问题？这也意味着，高维的杨辉三角简化成二维的杨辉三角问题。

这样的杨辉三角问题，是不是跟形数有关呢？有关系的话，是不是就变成了形数的问题？