第一百三十八章 欧拉常微分方程（微积分）

1755年，瑞士数学家L.欧拉在写一本叫《流体运动的一般原理》的书。

其中在研究无粘性流体动力学时，发现了一种运动的微分方程。

这个微分方程是指对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。

欧拉敏锐的发现，这个方程还可以去解释热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题。

长得是这样的，ax2d2y+bxdy+cy=f(x)，类似二次方程。

其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数d2y的系数是二次函数ax2，一阶导数dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。

而且，欧拉不止步于此，还继续发现了高次导数的推广的形式。

同时欧拉使用带自然对数底的带还，再用d表示微分符号，再用归纳法，转化出常微分方程。

得出的方程可以求出2次甚至高次的常微分方程通解。

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。

历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

f(x)=x^n*y^(n)+p1*x^(n-1)*y^(n-1)+……+pn-1*x*y`+pn*y

其中做变换x=e^t或t=lnx，将自变量x换成t。

可得到dy\/dx，很对对应的对y求x高阶导数的各个公式。

用符号d表示对t求导的运算d\/dt。

可得xy`，x^2y``，以至得到x^n*y^(n)表示出的关于d的式子。

然后带入方程，再把t换成lnx，得到原方程的解法。

可以轻松求解一个在弹性力学中常见的四阶变系数线性微分方程。