第二百二十九章 柯西的微积分规范（微积分）

拉普拉斯也觉得柯西的文章数目太多了，让人目不暇接。觉得柯西主要一有空脑子里就会想数学的事情，很多事情仅仅是一种讲究，根本就没必要去当一会儿事。

拉普拉斯对柯西说：“你的论文太多，繁杂而缭乱，这对研究数学不利。你应该少而简单点才对。”

柯西一听到拉普拉斯如此说，心想，这样不是第一次被人质疑了。或许有的人就是因为嫉妒吧。柯西说：“你说说看，数学走到今天，还能怎么简单得下来。而且，你给你一个绝望的消息，数学以后可能会越来越多，一生都不会有人学完。”

拉普拉斯说：“不会吧，尽量还是有几句话就点透一个人吧。”

柯西说：“大方向肯定可以点透一个人，但是数学中有很多重要的细节。如果你不当回事儿，别人可以找出其中的麻烦。”

拉普拉斯跟柯西说：“即使有了发现，有必要写这么多吗？你的文章大家都看不完。”

柯西说：“确实多了些，但是我的东西还是需要细细的看。因为，我在研究数学的过程中发现了一些惊人的东西。我敢保证，这肯定是数学的未来。”

拉普拉斯说：“你的那些东西是未来？”

柯西说：“就比如微积分，如果不使用我的这种语言来描述。而仅仅用牛顿和莱布尼茨的那种描述，那就会被无穷小到零这样的问题来反驳。”

拉普拉斯说：“我认为初学者不应该使用你这种描述方式，毕竟微积分是一个公式，本领不算难，但经过你这种严谨的方法，反而弄得难了。让很多本来可以学会的学生，都知难而退了。”

柯西说：“那也得这样来，人就是这样的，你简单点，他们挑你毛病，你仔细点，对方就学不会。只能说，被吓退的，仅仅是因为还不够爱数学而已。”

拉普拉斯无话可说，但是依然不太服气。

1821年柯西出版了《分析教程》，这是第一次将数学分析建立在正式基础上。它为巴黎综合理工学院的学生设计，致力于尽可能严格地发展微积分的基本定理。

柯西是极限理论的集大成者，他使得整个微积分理论建立在极限理论的基础之上，使分析学开始一步步走向严格化。可以说，分析学的历史发展是以柯西为分界线的，而后面的数学大师们都可看作是他的门徒。

以严格化为目标，柯西对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是柯西关于极限的定义：

当属于一个变量的相继大的值无限地趋近某个固定值时，如果最终固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。

然而柯西的极限思想并不是没有缺陷的。极限理论在当时还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。

我们在这里不得不提到另外一位传奇的分析学大师——魏尔斯特拉斯。

为什么极限理论的建立需要实数理论？

我们不妨开门见山，首先要问——我们的连续性是否需要实数？柯西列极限的存在性是否需要实数？零点定理的保证是否也需要实数？

如果数系不是连续的，是离散的，那么某些数列的极限是否存在就值得怀疑。

我们知道，现代的极限定义是用实数来定义一个数列的极限值的。但是对于有理柯西列，放在有理数域，它的极限值就不一定存在。

另外，我们考虑介值定理，最简单的就是零点存在定理。想象一下一条曲线穿过数轴，直观的判断必然会有零点存在吗？我们说，当然，怎么可能没有零点存在呢。不过，我们这里已经默认这样一条数轴是连续的，这里就要纠结一下，这里的数是什么，是单纯的有理数嘛？这时还没有实数。

因为有理数尽管是稠密的，但它是离散的，而且无理数还没有被严格定义。如果不严格定义实数，不是放在实数系去考虑，那么单纯借助极限理论我们无法得到这样美妙且直观的定理。

我们不禁要大声疾呼：

连续性需要实数的严格定义！

柯西列极限的存在需要实数的严格定义！

零点定理的保证也同样需要实数的严格定义！