第三百三十四章 戴德金原理和定理（微积分）

在对有理数集q利用戴德金分割构造实数之前，先给出一个引理：任意两个有理数之间，必然存在无数个有理数。

引理非常容易证明，设a和b是两个有理数，那么它们的算术平均值c=(a+b)\/2也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。

戴德金定理是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理。

它断言，若A|A'是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在A内，则它为A中最大元，若β落在A'内，则它是A'中最小元。

这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性。

数学家发现了除数字以外的各种形式的数学，有各种群、环、域、模等各种重要的结构。所以数学家不可避免的要反思，数字，也就是实数是怎样的一种系统，是否在以上的分类中有严格性。或者有什么样的特殊性，或者是否是一个好的例子。

戴德金开始跟黎曼和狄利克雷等人讨论过关于实数系统的严谨性。

戴德金对狄利克雷说：“你让我去看看实数是否符合对应的群、环、域、模这种结构，那就需要挨个去看看他们的严格性。那么我们要对这个看似简单，但是却有点精彩而复杂的系统进行梳理的时候。”

狄利克雷说：“没错，这是迟早的，也是有意义的。我们定义了自然数、整数、有理数、无理数这些东西，但是我们并不是真正的了解它，因为他们的严格性有待商榷。用了这么久，也该看看这些都是什么样子了。”

戴德金说：“其中最为关键的，是一个看似简单，但是却麻烦重重的有理数和无理数的区分方式。因为他们都掺杂的连续的在数轴上，我们需要有一个理论，能够让这些东西进行区分。”

狄利克雷说：“是的他们的混杂，是如此的连绵不绝，却有膈应的无穷。”

戴德金说：“我已经找到了一种分割的方式，能够证明实数是完备的。”

狄利克雷说：“可以保证数轴直线的连续性？如何分割？”

戴德金说：“如果把直线的所有点分成两类，使得：每个点恰属于一个类，每个类都不空。然后，第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。”

狄利克雷说：“这能说明实数的什么性质？听起来怎么没有感觉？”

戴德金说：“可以推出数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则。”

狄利克雷说：“确界原理我知道，波尔查诺发现了确界原理，就是讲如果有实数集有上界，那就有上确界。有下界，就有下确界。”

戴德金说：“这个看似废话的定理有一定的重要性，知道如果有界，必然就会有最大值和最小值。”

狄利克雷说：“单调有界也是具有单调性的，必然哟最大值和最小值。”

戴德金说：“闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段，两个端点也属于此线段，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以o为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。”

狄利克雷说：“一种不动点在其中。”

戴德金说：“有限覆盖定理，是设h是闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，则必可以从h中选择有限个开区间来覆盖[a，b]。”

狄利克雷说：“有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理．它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛的应用．有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间．由“无限转化为有限”是质的变化，它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法。”

戴德金说：“致密性原理就是有界数列必有收敛子列。”

狄利克雷说：“同样可以以你的分割法来证明。”

戴德金说：“柯西收敛，这也是不可避免了，这是完备性的一个体现。”

戴德金于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组1，2，3的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价。