第三百四十七章 康托尔定理和悖论（集合论）

康托尔定理(cantor's theorem)：用p(x)记x的一切子集构成的集，用cardx表示x的势，则cardx < cardp(x)。康托尔定理指的是在Zermelo-Fr?nkel集合论中，声称任何集合A的幂集（所有子集的集合）的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。

1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。

康托尔提出了集合论，而且提出一种幂基，是原集合中所有子集组成的集合。幂基的个数大于原集合元素的个数。这是因为幂集与原集无法形成一一对应的关系了。

如果自然数是原集，自然数的幂集数大于自然数，所以自然数的幂集数的无穷大，比自然数的无穷大要多。而康托尔有证明了自然数的幂级数与实数一样多，所以得知实数的无穷大数比自然数的无穷大要多。

康托尔证明直线、射线、线段上的点都一样多，同时等于实数的个数。而且直线上点的个数与面上点的个数与体中点的个数一样多。这也是康托尔悖论的核心内容。

后来康托尔又发现函数的个数的无穷大比实数的无穷大又大。

所以最后推出任意函数个数>实数数（线上点的个数）>自然数数。

其中有理数个数等于自然数个数，无理数个数等于实数个数！

数学家克罗内尔狠狠的批评了康托尔，说：“这不是数学，这是神秘学。”

康托尔也被这一番话弄得怀疑人生，还因为自己真的精神有问题了，然后进了精神病院，后来才康复。

克罗内尔的学生布劳威尔也同意自己老师的观点，说：“数学必须是一种可以明确构造的结果，不能是无法描述清楚的东西。”

外尔也说：“康托尔的理论是雾中之雾。”

克莱因也不喜欢康托尔的理论。

也有支持者。

胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。

希尔伯特认为：“这是人类纯粹智力活动的最高成就之一，是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”