第108章面积

在小学时，经常有求阴影面积的题目。其中，自然涉及圆的切形。而其中的关键就是对称。如果没有对称，那么它们基本无解。

然而到了初中和高中，面积却不再考察。原因就是正方形的面积公式太简单，不具备直接考察的要求。即使侧面考察，也不行。而那些不规则的图形的面积又过于困难，所以求面积就是出题人极力避免的。

到了大学，求面积又被重新推上台。当年莱布尼茨为了解决天体运动中的面积问题，而创建了微积分。而他的微积分的思想基础就是莱布尼茨三角形。微积分中有个概念叫做增量。莱布尼茨正是敏锐地意识到面积是一种不断增加的过程。简单地说就是以一条边为基本边，把一个图形看成是很多条有限长度的边组成的。而微积分就是要计算这很多天边而造成的增加量。怎么说？我们把把边看成是长方形，它是有宽度而不是为零的。于是，图形的面积就可以表示成很多小长方形的面积。而在求圆周率时，主要是通过计算面积而间接得出。当初祖冲之用逼近法居然算到了三千六百边形。

网络上有证明2=π的视频，那么它是怎么回事呢？一个半圆a，半径是1。那么，它的周长就是π。以它的圆心和两个半圆点画两个半圆，于是这两个半圆是周长是π/2。然后继续做四个半圆，则它们的周长是π/4。一直继续下去，半圆们就会变成直线。所以，2=π。那么，问题出在哪里呢？其实，就算那些半圆的周长很小很小，但是并不是完全展开的。这有点像讨论无穷小和零是否相等是类似的。其实这里就是一个典型混淆的例子。第一，无论你的操作是多少次都是有限次，这样半圆弧是不可能和直径划上等号的。第二，无限并不代表半圆弧一定变成直径。我说过无限分很多种，而这里的无限是什么无限就是需要讨论的。我们知道物体离我们越远，而它在我们眼里越小。视频里的操作就是这样。在数学里，一旦有个问题涉及到无限，那么它一定是个大问题。虽然康托尔在创立集合论时就证明了无穷大和无穷小都是存在的，在数论中还有无穷小量这样的概念。但是，我就想问无穷小真的存在吗？一个问题就是无穷小是正数还是负数？按理来说，不是负数比正数小吗？那么，无穷小就应该是负数。但据我推测数论中无穷小应该是正数。因为如果无穷小是负数，不就有个问题吗？无穷小与无穷大的绝对值就是一样的？这样的话，无穷小还有存在的必要吗？

我们知道面积是很重要的量，物理中有很多量都和面积有关。比如库仑力就和物体的截面积有关。浮力也与面积有关。一般认为，水体的表面积越大，它的浮力就越大。

嗯，暂时想到这么多。核桃像是有感而发，不是矫揉造作。

大家曾经是否想过正方形的面积为什么是边长的平方？你可能会说面积当然就是积了，而边长只有一个。不是边长的平方，又是什么？没错，正方形是对称的。用边长乘以边长似乎说得过去。但是，我们仔细一想面积为什么不是边长的四次方呢？你可能会说有重复的。把正方形看成是边长条边，而这条边的宽度不是零。你看，问题就在这里。如果你看成是边，那么边的宽度不应该是零吗？而这里居然规定宽度不是零。那么，边不就是相当于一个长方形吗？把正方形看成是很多个长方形不是循环论证的前兆吗？假如问凭什么长方形的面积是长乘宽，

不就是没完没了了？古人也许没有想过这个问题，但是它是解决不规则图形的面积的钥匙。试想，如果你连正方形的面积公式是怎么来的，不就是对面积的求解认识不够吗？这里就要提到无限。如果把正方形看成无限条边，而边的宽度就是零。这样的话，直接用无限乘以边长就是错误的。这时就需要一个概念就是无限长。顾名思义，就是一个无限的长度。既然有无限条，而正方形又是对称的。那么，无限长就是边长。所以，正方形的面积就是边长的平方。

那么，对称的图形的面积公式又是怎么样的？为什么平行四边形的面积等于底乘高？还是一样的，根据对称可知平行四边形可以看成是无限条底，而无限长是高。那么，面积的形式就是显而易见的了。小尼如此阿布拉

月牙形是土耳其的标志。在《土尔扈特东归》中就有描写沙俄和奥斯曼土耳其的战斗。而那时就是第五次俄土战争。回到数学上。月牙形可以看成是多少条内圆弧长？其实，这是错误的认识。在内圆弧和外圆弧之间存在一个圆弧系列，而它们是可以形成一个等比数列的。

刚才小尼提到不规则图形的面积，我认为它和非整数运算有关。比如（√2+1）的√2次方。而它就是这样。

那个艾丽西亚，也有事来不了就让我来替她说。边积和面积可以相等。那么，什么是边积呢？其实就是各条边的乘积。角积是一样的。角积和面积有关系吗？我认为有，只是目前还不清楚。

好，这些就是我要说的。埃斯皮诺萨简略地说完了。