第724章 无缝的实数轴

“愿主保佑你渡过美好的一天。”

这位贝克莱主教从手中捧着的那堆宣传单里抽出两张分别塞到两个人的手中，接着抬头看向天空中散发着无尽光和热的太阳。

在普通的整数世界中，那是一个熊熊燃烧的大火球，是给予人类营养的太阳。

在这个无理数世界里，天上光芒万丈的太阳其实是那两个占据了微积分源头的强者所投下的一丝倒影。

仅仅是这一丝倒影的力量就已经远远凌驾于真实界佛祖的尸体之上。

这个隐藏在无穷小空间里的无理数世界已经与超脱物质宇宙的信息世界很类似了。

以有限生灵的视角，完全无法区分两者的区别在哪里。

单纯从生灵的力量层次来看，这个无理数世界里的一草一木都比掌控一座次元世界的所谓大人物要强得多。

只不过在生命本质上，两者依旧没什么差别。

无法被认知和掌控的力量就算不上自己的力量。

一个普通人手中的游戏世界对应着一个无边无际的真实世界，他的日常玩乐就是这个世界里众生的天道宿命。

但这样掌握着上帝权限的人依旧还只是凡人罢了。

眼中能看到的世界只有那块小小的电子屏幕，而不是整个广阔无边的真实世界。

这份力量来自于超出自身认知范围的权限，他本身与被他掌控宿命的世间众生位于同一个位置，并没有什么高不可攀的地方。

两者的思维能力是等同的，掌控万物命运的普通人依旧还是普通人，算个加减乘除都要思考上好几秒，随便记几个电话号码都会让脑袋宕机。

智慧生物以自身胜过蠢笨动物的智慧而骄傲，毁灭与创生的伟力并不能让凡人信服，毕竟“我上我也行”。

想要成为神，必须拥有凡人永远不可企及的智慧，有能力解决凡人永远无法解决的难题，这才算得上是神。

“同样祝你好运，主教。”

李恒抬手和这个表情严肃的中年男人挥手告别，望着那渐渐远去的背影，随手就把手中的传单捏成一团扔进了一旁的垃圾桶里。

他不信宗教，无论是传统的上帝、三清、佛陀，还是最近比较流行的克苏鲁邪神。

他就是自己的主，自己保佑自己就行了。

阿基里斯见状也不犹豫，学着他的样子把那张传单扔到了垃圾桶里。

她也有免费请她吃饭的主了，不用信那个见都没见过的上帝。

“虽然是出于维护宗教信仰的目的而抨击微积分的基础问题，但这位主教的话是说得没错的，否则也不至于引起第二次数学危机。”

“如果承认一个既是0又不是0的奇怪的无穷小量，那么微积分的逻辑基础的确只是空中楼阁，与神学信仰无异。”

为了解决微积分的基础问题，有许多数学家做出了努力，比如达朗贝尔提出了建立在“极限”概念基础之上的微积分。

在处理导数时，他把dy\/dx看成是有限项的商的极限，并且将这个商表示为z\/u。

那么，dy\/dx就是在假定z和u为实数并且不断减小时，比值越来越接近的量。

在这之后，柯西将极限的思想发扬光大。

当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以任意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。

这是柯西有关于极限的定义。

再次回顾计算圆周率时使用的内接正多边形。

当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积的极限就是这个圆的面积。

在这个变化过程中，不会有哪个多边形的面积真的等于圆的面积。

但是，对于任意给定的容差，总是能够找到一个内接正多边形，它的面积比给定的容差更接近圆的面积。

这种极限思想与最初欧多克索斯使用的穷竭法很相似。

无穷小量是以0为极限的变量，摒弃不可捉摸的实无穷，将无穷小量限定在非0的潜无穷范围内。

无穷小量不会真正抵达0，微积分处理的都是位于0和∞之间的有限量。

一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。

一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。

当使用“任意小”、“任意大”这类词进行表述时，就代表着不可抵达的潜无穷的观点。

“不过，柯西对于极限的定义依旧有不太完美的地方，尤其是趋近这个具有动态含义的词，暗示了时间和空间的概念。”

“在他之后，魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义，也就是教科书上的e-δ语言，不再使用趋近这种暗示了空间和时间的动态定义。”

“利用这个对极限的定义，可以很容易地证明芝诺二分悖论中那个无穷级数的和是1。”

“对了，还有很有名的魏尔斯特拉斯函数，处处连续但处处不可导。”

“这是第一个分形函数，具备自相似性，无限细分放大后依旧还是那布满了锯齿的模样。”

“总之，经过不少聪明人的努力，微积分总算有了一个严格的基础，摆脱了逻辑上的含糊和矛盾，走出了第二次数学危机。”

大略地提了提微积分的发展史，李恒将话题转到了重点上。

“微积分的完善建立在极限思想的基础上，明确了微积分在计算过程中使用的都是不为0的变量。”

“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小，回归到了人类能处理的有限范围内。”

“实数域因此也是最大的阿基米德有序域，给出任何数，总能够挑选出一个整数大于该数，也就是不包括无穷大量和无穷小量。”

“实数的定义域(-∞，＋∞)，这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念，人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”

“但，潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”

“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷，但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”

“毕竟微积分的基础就是连续性，而无理数就是数轴连续性的来源，没有实无穷，只剩下有理数的微积分也不可能存在。”

“微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”

“最关键的就是，需要一个无理数的基本定义，这些无理数构成的数轴具备连续性。”

万物皆数，在直观的几何上从离散到连续的转变，就是从有理数到实数的转变。

魏尔斯特拉斯，戴德金，还有康托尔，这三人各自完成了对实数的基本定义。

其中容易理解的是戴德金的定义。

李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴，只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。

“点动成线，数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙，没有丝毫的漏洞。”

“这是连续性最直观的一点，但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”

“任意两个有理数之间都存在第三个有理数，但它们并不连续，每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”

“连续性显然不是根源于任何种类的致密性，用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”

“思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”

“也就是在数轴上，每一个点的左边是一个更小的点，右边是一个更大的点。”

李恒抬起手掌，一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上，激荡起一阵金属碰撞般的火花，让整个世界都剧烈地颤动了起来。

天上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去，争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。

他们感觉到，这个隐藏在有理数的缝隙中，无限可分的无穷小世界，真的被找到了那个不可分割的最小基本元素。

“从数轴的可分性去理解连续性，这就是我们两个一路上在做的事情。”

“切割整数，切割有理数，切到不可再分的那一点，找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”

“在这个数左边的所有数都小于这个数，在这个数右边的所有数都大于这个数。”

这就是戴德金分割。

如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。

那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。

于是，通过定义集合A和b的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。

用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。

在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性中。

他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷小的区间。

归根结底，这些看起来无穷小的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大小的点。

虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。

“因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”

“因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数，”

“一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”

“第一，左边的A集合有最大元素，右边的b集合没有最小元素。”

“这就说明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数p\/q所代表的点上，并且这个点位于左集A之中。”

“如此数轴就被分成了两部分，比如(-∞，2】，(2，＋∞)。”

“数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集b中。”

“所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集b有最小元素。”

“这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”

“除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集b也没有最小元素。”

“这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”

“用有理数进行分割，如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数。”

“由此就从有理数扩展到了实数。”

说到这里，李恒又抬手在阿基里斯的肩膀上贴上了第四个小便签“戴德金分割”。

前三张便签纸上分别写着“一一对应、基数”，“有序排列、序数”、“排中律”的字样。

“再次回到之前解释过的0.9…=1的问题，用戴德金分割就能证明这一结论。”

“0.9…是一个十进制无穷小数，它和1是数轴上同一个点代表的数的不同写法。”

“所有的无限小数已经填满了整条实数轴，再也没有其他数字的位置。”

“与戴德金分割对实数的定义等价，康托尔用无穷序列来定义数轴上的数。”

“一个有理数的无穷序列，如果任意两个相邻项的差越趋于0，那么这个有理数序列就是一个实数。”

“康托尔将这称为一个基本序列。”

“任何有理数序列的收敛等同于它可表示为一个无穷的十进制小数。”

“这种定义下的系统是封闭的，也就是说，用有理数定义的实数去组成实数序列，得到的极限仍是实数。”

“1.00…和0.99…，这两个不同的基本序列极限是一样的，定义了数轴上的同一个实数。”

“也正是因此，类似于w这样不是0也不是后继序数的超穷序数被称为极限序数。”

“它们本就来自于表示无理数的基本序列，源于微积分中的极限，没有最后一位的概念。”

“嗯，前置基础总算是说的差不多了。”

李恒抬手打了个响指，两人来到了一间幽暗老旧的精神病院外面。

“有了无缝的实数轴和实数的基本定义，接下来就可以开始研究连续统了。”