第725章 可数无穷,不可数无穷

一间老旧的精神病院，隐藏在阴暗无光的山林之间，即使是天上熊熊燃烧的大火球绽放的无尽光和热都无法照亮这片阴暗的区域。

安静诡异的氛围，让这里就像是某个恐怖电影的拍摄现场。

两个外貌看起来跟强大无关的人就像是误入危险场所的贪玩小孩，属于在恐怖片开头就被献祭的那种。

“不过，换一个思路，在恐怖片里全身长满肌肉的强壮成年一般都是用来展示鬼怪不可抵抗的强大力量的垫子。”

“与此相反，反倒是孱弱的老人、天真可爱的小孩、被人欺凌的柔弱女子，这些常识中的弱者反而会具有抵制鬼怪的奇特能力。”

李恒仰头看向天空中熊熊燃烧的太阳，就算是牛顿和莱布尼茨的光芒，也在这间精神病院门前止步不前。

大门缓缓向着两侧打开，露出了门后隐藏的场景：

开阔的庭院，院子里种着一棵挂满了大红枣子的枣树，一个清澈的游泳池里放着一个漏气的黄色游泳圈，看起来有些像是之前阿基米德的澡盆。

很普通的场景，与在外面感受到的阴森恐怖氛围完全相反，只是一座很普通的建筑。

“虽然数学家、哲学家往往会被人和孤僻天才、精神异常的疯子人设联系在一起。但康托尔建立集合论和超穷数理论的大部分工作都是在他精神正常的时候完成的。”

“我们探究的当然不是人生晚期住进精神病院里的康托尔，而是他发现超穷数的思想。”

李恒带着阿基里斯走进了这间空无一人的精神病院，目光投向那棵长满了红色枣子的枣树。

长满触手的头足类生物，全身血肉模糊、满是眼睛和嘴巴的可怕生物，有着超凡灵异力量、能隐形穿墙瞬移的鬼怪幽灵。

说到底，这些令人恐惧的要素都是以地球人的视角而产生的。

无垠的宇宙中将这些恐惧要素视为美丽、高贵、可爱形象的智慧文明到处都是，莎布尼古拉斯的形象在很多文明中都是“高贵迷人的女王”。

比起这种外貌上的怪异形象，他更喜欢克系小说中对尤格索托斯的描绘。

令人恐惧的不是怪异丑陋的外表，而是超越人类智慧边界的知识。

用理性和逻辑去探寻的事物，最终却发现以凡人有限的理性永远无法理解它们。

所有人类——这个词指的是广义上的人类。

不仅是狭义上的地球智人，还包括远古的尼安德特人、能人，以及千百万年以后不知是否存在的未来人类。

宇宙中其他星球上的碳基智慧生命、硅基智慧生命。

还有那些生存在空间不均匀的非整数世界中的修仙文明、魔法文明、武道文明之类乱七八糟的文明。

不论是银河系里的地球人，还是在这个无穷小的无理数世界里的牛顿与莱布尼茨两大天尊。

所有人类眼中都同样不可理解、不可言及的神秘未知之物。

“自然数，整数，有理数，无理数，实数。”

“从苏美尔文明的楔形文字开始，一直到几千年后完整的实数定义，无缝连续的直线终于在代数上有了与之对应之物。”

“理所当然的，离散和连续之间的差异，就会让人联想到无穷之间也有差异。”

“自然数、整数、有理数，它们的数量都是无限，但它们都是离散的，充满了漏洞和空隙。”

“实数却是连续的，那么两者之间的本质差别是否就是因为实数比其他数的数量更多？”

“也就是说，存在一个比人类常识中的无穷更大的无穷。”

李恒伸手从枣树上取下一颗大红枣，塞到了阿基里斯的嘴边。

“啊呜。”

一口将这颗大红枣吞下，阿基里斯品味着那甜滋滋的味道，感受到有丝丝缕缕的信息从枣子里涌了出来。

她现在终于有些理解李恒所谓的吃东西是什么意思了。

“知识就是食物，原来是这样的感觉。”

红枣里面装着的信息是伽利略对于无穷的理解，使用的方法正是人类对数的认知的源头，最基本的一一对应思想。

利用一一对应的方法，即使没有办法确切的数完集合中的每一个元素，也能比较不同集合元素的数量。

这一点就像是在舞会上一一配对跳舞的男性和女性，每个人都已经找到了自己的舞伴。

虽然参加舞会的人数可能有一百亿甚至是无穷多，但只要知道每个人都已经有了自己对应的舞伴，没有孤零零留在一边的落单者，那就说明参加舞会的男女数量是一样多的。

伽利略用一一对应的方法操作的是自然数和完全平方数：

1→1，2→4，3→9，4→16，…n→n^2…

在直观上看来，全体完全平方数显然是自然数的一个真子集。

但通过在自然数和完全平方数之间建立一一对应，伽利略发现自然数和完全平方数的数量是一样多的。

这种矛盾之处完全违背了欧几里得的公理“整体总是大于部分”，也是有限的人类认为他们无法处理无限的重要理由之一。

既然存在明显的矛盾之处，那么实无穷显然是不存在的。

根本没有一个已经完成的“全体自然数”集合，只有无限延伸、永远数不到尽头的自然数。

“问题在于，无穷的这种性质是否真的有矛盾之处？”

“如果说过去人类还可以用潜无穷的思想把∞抛在一边，但随着微积分和实数理论的建立，一个描述实无限的理论已经迫在眉睫。”

“每一个无理数都是一个已完成的无穷序列，如果没有实无穷，那就没有无理数，微积分的理论基础也就完全消失了。”

李恒再次伸手从枣树上摘下一颗枣子，这一次他直接塞到自己的嘴里吃了下去。

“康托尔不认为这种性质是有矛盾的，虽然它违反了人类一直以来的直觉，但却并不违背逻辑。”

“所谓的矛盾，只不过是人类将处理有限数的方法推广到了无限之上，这就像用牛顿的运动定律去处理接近光速的高速物体一样。”

“在他看来，对于数学来说，只要一个理论是一致且相容的，没有自相矛盾之处，那它就是可以被接受的，除此之外没有其他多余的标准。”

“因此，康托尔将部分与整体一样大、集合的真子集与自身一样大作为无穷集合的基本性质。”

“有了一一对应的方法，那么很容易就能得到以下结论：奇数、偶数、素数、整数，这些数构成的集合都能与全体自然数形成一一对应。”

“它们的数量都是一样的，有着同样的基数。”

“整数和自然数的基本特征就是可以一个接着一个地列出来，知道了前一个数就能写出后一个数，康托尔将这种性质称为【可数性】。”

“于是，具有和全体自然数集合相同基数的无穷大就被称为【可数无穷】。

“这就是第一个超穷基数?0”

“其他无穷集合的基数可以通过这个基准的基数来计算，也就是把它们与?0比较，看看它们是否能和自然数建立一一对应。”

对无穷集合，绝不可能真正完成配对的过程。

只要能建立一个一一对应的操作程序，使得对第1个，n个，和（n+1）个成立，就可以通过数学归纳法证明，这种对应对两个集合从头到尾都成立。

有了作为基准的可数无穷，接下来的难题就是对于有理数的处理。

有理数看起来处处稠密，在直觉上根本无法像是自然数和整数一样一一列举出来。

但无理数的存在表明有理数并不连续，依旧是离散的。

既然如此，那么有理数或许也能用某种方式像是自然数一样一一列出，基数同样是可数无穷。

“想要证明这一点，需要用一种方法将有理数排列成类似自然数的形式，这种方法被称为集合的可数化。”

“每一个有理数可以表示为p\/q的形式，简单起见，只选择正有理数，对于无穷集合这种处理不会影响结果。”

康特尔首先将这些有理数排列成一个二维矩阵的形式。

第一行是所有p\/1形式的有理数，也就是所有的整数。

第二行是所有p\/2形式的有理数，第三行是所有p\/3形式的有理数，以此类推。

然后在这张二维矩阵上画了一条Z字形的线，将矩阵上列出的所有有理数排列成一行。

1，2，1\/2，1\/3，2\/2，3，4，3\/2，2\/3，1\/4，1\/5，2\/4，3\/3，4\/2，5，6…

将这个有理数序列中所有重复的非最简形式分数去掉，得到一个有理数序列：

1，2，1\/2，1\/3，3，4，3\/2，2\/3，1\/4，1\/5，…

所有的有理数完成了可数化，能够与自然数集合完成一一对应。

因此，看似无穷稠密的有理数的数量与自然数相等，依旧是?0。

阿基里斯咀嚼着口中的红枣，她汲取着其中的信息，接着有些惊讶地问道：

“就算加入了比有理数多得多的无理数，额，这里把它们叫做无理代数数，依旧还是可数无穷？”

她在这颗红枣里看到了一个名为刘维尔的数学家做的有关于代数数和超越数的证明。

一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，就把它称为代数数。

根号2是代数数，因为它是整系数二次方程x^2-2=0的一个解。

有理数就是一次整系数方程的解，代数数代表着有理数的扩充。

刘维尔不等式是一个有关于无理代数数和有理数的不等式。

通俗来说，这个不等式表明有理数作为无理代数数的邻居，其数量少得可怜。

“没错，无理数之间也是不一样的。”

“如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”

李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。

“所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的超越数。”

“说回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”

首先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。

1x1.a1a2a3…

2x2.b1b2b3…

3x3.c1c2c3…

通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限小数的数表。

想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。

这种方法被称为对角线证明。

令一个实数R的小数部分为(a1-1)，(b2-1)，(c3-1)…当0-1时令其为9。

这个实数R小数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，小数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。

以此类推，实数R小数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。

这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的小数来自列表中全体实数的一条对角线上。

最终，这个新的实数与列表中的每一个实数都不同，一张无限长的列表也无法写出全部的实数。

由此得出与假设不同的矛盾，从而证明实数是不能可数化的。

实数集与自然数集无法一一对应，它是一个比可数无穷更大的无穷。

如此便有了三个基本的层次：

有限，可数无限，不可数无限。

康托尔将连续统的基数称为c。

在这之后他做了一些更深入的证明，即线段=直线，直线=平面。

实数轴【0，1】区域点的数量与整条实数轴一样多，线、面、体都是等价的点集，基数都是连续统的基数c。

它们都是一样的无限大，维度差异根本无关紧要。

这意味着能够用一个坐标来唯一确定一个n维连续空间的点，而不需要随着维度增加而添加更多的空间坐标。

“这个问题有些超纲了，我们当前探究的只是实数轴和连续统，关于线=面=体的反直觉问题暂且略过。”

李恒的脸颊鼓起来一小块，这让他看起来有些像是在吃花生的仓鼠。

嘎嘣嘎嘣的清脆声响在这间无人的庭院中响起，阿基里斯抬头看去，那棵大红枣树上面的红枣已经只剩下寥寥几个，看起来有种荒凉感。

那些红枣小部分到了她的肚子里，大部分都被李恒吞下了肚。

还好康托尔不在这里，不然大概要跟他们这两个不告而取的家伙打上一架。

以己度人，要是他自己种的红枣被陌生人跑进来吃了个精光，那她肯定要气的半死。

“不，他一直在边上看着咱们。”

李恒抬手指向枣树的根部。

“这是个脾气很好的老头，跟挂在天上的那个大太阳不太一样。”

阿基里斯闻言看向枣树，她握住胸前的螺旋状钥匙，用那个看不到具体尖端的小点对准了那里，终于看到了躺在枣树底下的第三人。

一个脸上布满皱纹，头发散乱的白发老头子，眼中有着呆滞和茫然，仰着头躺在那里不知道在想些什么。

“他对我们讨论的东西并不感兴趣，也不在意我们吃掉他种的红枣，只喜欢一个人待着思考自己的问题。”

“虽然是个精神病老头，但没有什么攻击性，不像上个世界的毕达哥拉斯那样危险。”

李恒从那棵变得光秃秃的枣树上摘下最后几个红枣，塞到了身旁白发女孩的手掌心里。

“最后几个了，这可是康托尔亲手种下的好东西，比人参果还厉害的宝贝，闻一闻味道就能获得一念生灭多元宇宙的力量。”

虽然同样都是可数无穷，但无理代数数和自然数集合、有理数集合当然有很大区别。

用基数衡量力量层次是一种很粗糙的方法，在无限领域，即使是相同的基数，具备的力量也是天差地别。

这涉及到更复杂的超穷序数和超图灵机的力量层次，从可数无穷到不可数无穷之间还有着极度复杂的结构。

用有限世界的情况进行类比，一个一千克的血肉大脑和一团一千克的棉花是不一样的，一百亿人组成的智慧文明和一块十亿吨重的石头也是不一样的。

“噢…这么厉害啊。”

阿基里斯仔细看了两眼，抬手就把这几颗珍贵的红枣塞进了嘴中，随意地嚼了两下就吞了下去。

味道确实比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。