第736章 玄极

第?日，全体实数在这一天同时诞生，构成了一个体量为不可数无限的宇宙。

标准分析中用于定义实数的方法是戴德金分割，用两个有限的有理数之间的空隙去定义实数。

按照康威创造的规则，定义1\/3的两个数集分别是左集{0.01，0.0101，…}，右集取{0.1，0.11，…}。

其中0.01是分数1\/4，0.1则是分数1\/2。

左右两个数集中的每一个数都是二进制下的分数，就像是切割那根万世不竭的木棍一样，不断地将数轴分割成两半。

随着无止尽的切割，两个集合中的数越来越多，数轴剩余的长度则越来越短。

最终在无穷次步骤过后，左集和右集中都包含了无限个数，创造出了1\/3。

类似的，根号2和π等无理数也可以用这种方式定义。

这种处理方式与康托尔处理实数的方式如出一辙。

在研究实数集合时，为了保证每一个数都有唯一的写法，康托尔将1、0.5这类数字都表示成了0.999…、0.4999…等等与无理数一致的形式。

“好熟悉的感觉。”

阿基里斯低头看了看挂在自己胸前的粉白色螺旋钥匙。

康威创造实数宇宙的过程就像是一台芝诺机。

第一天花费了1秒，创造了2个数字。

第二天花费了1\/2秒，创造了4个数字。

第3天花费了1\/4秒，创造了8个数字。

但普通的芝诺机只能处理一个无穷序列。

康威创造的实数宇宙是芝诺机的升级版，应该称它是二星芝诺机。

到这里为止，这种用两个数集定义一个数的规则并不会比普通的规则多出什么新的有趣之处，反而显得多此一举，极为麻烦。

“?日，实数诞生，宇宙现形。”

“但康威却并没有就此停下。”

阿基里斯注视着石头上显现出来的规则，在这条规则的下方还有未尽之语。

『后出一无穷数，不及玄极。逝日无穷，由是无穷亦高下有序也。』

所谓玄极，指的就是无穷。

不及玄极，也就是比无穷大更小，但却仍旧是无穷的数。

在普通集合论公理规则定义的基数和序数中，并不存在这样的数。

“超实数，用这种新的规则可以定义原本只能用基数和序数衡量的无限大数？”

在标准的数学体系中，差别最大的就是有限与无限。

自然数、有理数、实数，虽然它们本身的元素数量都是无限的，甚至还分为可数无限和不可数无限两种类型。

但这两种无限都只能使用集合论的方式来描述，用基数和序数衡量，与人类日常使用的数之间没有关系。

无论是基数运算中的?0+?0=?0、?0x?0=?0，还是序数运算中的1+w=w＜w+1、2xw＝w

两者的运算方式对于普通的有限数而言都显得很奇怪。

无限就像是一个幽灵，无论是无穷大还是无穷小，都游离在人类常识的世界之外。

“在遇到无限的时候，用一对互斥的数集定义一个数的方式就显得有意思起来了。”

李恒来到了这块记录着公理规则的漆黑大石头前。

“1\/3这个数是由两个数集定义的，并且它们都是包含了可数无限个元素的无穷集合。”

“既然可以用两个包含了无限个元素的无穷集合定义一个实数，那当然也可以把其他的无穷集合取作左集和右集。”

“比如说，在左集中放入全体自然数，创造一个比所有的自然数都更大的数。”

有了这种用两个集合定义一个数的基本规则，无限大数就是一个显而易见的结果。

在第?日，康威不仅创造出了全体实数，同时还创造出了不在实数域中的超实数。

无限大数w=(｛1，2，3…｝丨?)

左集是全体自然数的集合，右集是虚无的空集。

以及与无限大同时诞生的负无限大。

－w=(?丨｛-1，-2，-3…｝)

这里的w不同于用同样的符号表示的超穷序数，而是一个可以进行普通加减运算的具体的数，就像是1、2等等自然数一样。

全新的数轴向着左右两侧无限延伸。

这种延伸比普通实数域的潜无限范围更远，它在混沌虚无中开辟了全新的世界，一直延伸到了实无限的世界中。

毫无疑问，超实数构成的数轴远比实数轴要更长。

如果说可观测宇宙中普通的宇宙大爆炸只是宇宙永无止尽的永恒暴胀留下的一丝微不足道的残影。

那么康威从混沌苍茫中创造数字的第?日所发生的事情则是远远凌驾于此上的更高层次的宇宙大爆炸。

有了无穷大数，无穷小数自然也就同时诞生了。

取右集为｛1，1\/2，1\/3，…｝，将全体自然数的倒数作为右部，左集取｛0｝，就能得到一个小于一切正实数，却又不为0的无穷小数e。

类似地，将右集取｛1，1\/2，1\/4…｝，或者｛1，1\/9，1\/27…｝等等，同样可以得到无穷小数，存在无穷多种不同的选取方法。

全体实数、无穷大数w、无穷小数e，它们都在同一天诞生。

但第?日并不是终点，只是一个开始。

在创造无限大数w的下一日，诞生了比无限大数更大的数。

w+1=(｛w，2，3…｝丨?)

它可以化简为

w+1≡({w}丨?)

这个数比w更大，它在数轴上位于w这个数的右侧。

以及一个比无限大数w小，却又大于所有整数的数。

w-1≡({1，2，3…}丨{w})

这个新数在普通的集合论公理规则定义的超穷序数中是不存在的。

在这套全新的规则里，无限大数可以像是普通的数一样随意进行加减运算。

通过这种方法，可以得到无穷多个小于无穷大w的无限大数。

w-2≡({1，2…}丨{w-1})

w-3≡({1，2…}丨{w-2})

它们就是康威所说的不及玄极的无穷数。

时间继续向前流逝，又过去?日以后，到达了第2?日。

这一日诞生了2w=w+w=({w+1，w+2，…}丨?)

以及w+e，w-e这类数字。

每一个数本质上都是一对数集，每一个实数都能在无限次计算后得到精确数值。

w和e都是由可数无穷集合进行定义的数。

想要计算出这两个数的和与差，需要进行2次可数无穷计算。

“原来如此。”

“石板上所说的第几日实际上指的是第几次计算步骤。”

“w这个无限大数需要w次计算步骤才能得到，e这个无限小数同样需要w次计算步骤才能得到。”

所以这些由两个无穷数构成的数字都是在第2?日才会诞生。

在这一日还诞生了π+e，π-e等等存在于两个实数的缝隙之间，与标准的实数相差一个无穷小量的超实数。

李恒蹲下身体，从沙滩上抓起一把白色沙子，看着它们从指缝之间缓缓落下。

“我们现在所在的世界是在0～1之间的实无穷小区域，准确地说，是在数轴上0.99…到1之间的区域。”

“物体直观的体型大小不重要，重要的是它们包含的信息量。”

“在量子比特海洋中，具有不同最小空间尺度的宇宙天差地别，同等大小的物体容纳的信息量天差地别。”

“无穷大和无穷小是同等的复杂，具备同等强大的力量。”

“康威给每一个数字赋予了一个精确的生日，它表示了想要具体计算出一个数的困难程度。”

“有理数在有限的时间内诞生，它们可以在有限的计算步骤后得到精确结果。”

“实数在第?日诞生，这些实数几乎都是不可计算的数。”

“但这种不可计算只是对于有限的人类而言，任意实数都能用w次计算得到精确的结果。”

“不过，有很多数字比单个实数更复杂。”

“比如两个不可计算数之和，就需要经过两轮w次计算才能得到精确结果。”

“在超实数域中，数轴上还有着无穷多个不能用w次计算得到精确结果的数，也就是那些在?日之后才诞生的数。”

“这个隐藏在0.99…和1之间的无穷小世界的空间尺度是以实无穷小e计量的，任意空间区域里都容纳了无限的信息量。”

“生灵在这里的每一次迈步、每一次思考，都必须完成无穷次计算。”

“没有一具容纳着无穷力量的身体，在这个世界里连存在都做不到。”

在无法超脱时间复制洪流，受制于热力学第二定律的物质宇宙中，每一个比特信息量的变化都存在E=ktln2的等式关系。

这一点在绝对零度的无限世界中不再成立，但这不意味着“运动”、“变化”就没有消耗了。

运动与变化的本质是复制，是无中生有的力量创造的新事物。

一个存在于实数间隙之中的实无穷小世界，这里的空间是由那些在?日以后才诞生的超实数构成的。

能在这里存在的事物，至少也拥有无穷的力量，无论是沙滩上的白沙，还是海边的烧烤架。

“听起来似乎和之前牛顿与莱布尼茨所在的无穷小世界差不多？”

阿基里斯眨了眨眼睛回道。

但她心里知道，两个世界其实是不一样的。

之前的那个无穷小世界是潜无穷小世界。

构成那里空间的数是简单的无限，是那些可以被压缩，算法复杂度有限的简单的无理数。

这里的空间却是由不可被压缩、不可具体认知的超实数构成的。

无论是包含了w还是包含了e的数，它们的复杂度都不会比实数中的那些不可计算数更低。

所以，她现在看到的阳光、沙滩和大海都只是她眼中的错觉，是她那颗简单的大脑与它承载的孱弱思维所能认知的幻梦。

她现在能站在这片沙滩上也不是因为什么星球的引力作用，而是源于那些她根本无法认知的规则。

这里比她之前所在的那个混沌世界还要更奇诡，更随机，更未知。

她能在这个世界里活着，只是因为胸前这台二星芝诺机赋予她的不可数无限的力量。

这份力量过滤了这个世界里无处不在的，有着无限重量的沉重信息。

“还是有很大差别的。”

“在之前那个潜无穷小世界中，即使每一寸空间内都藏着无限的信息量和能量，但那里的物体依旧只是属于可数无限的范围。”

“但在这个比实数更稠密的超实数世界里，任意小的空间里都藏着不可数无限的信息量。”

刘维尔数集是个零测集，在数轴上占据了大小为零的区域，但却是能与构成实数一一对应的不可数无限集合。

与此类似的，在这个超实数世界里的一粒沙子、一滴海水、一粒灰尘，都能与实数集一一对应。

虽然构成这个世界的基本元素仍旧只是可数无限的数，但在这里的一切物体，无论直观的体型是大是小，体内都容纳着不可数无限数量的基本元素。

“零测集？”

阿基里斯立刻反应了过来。

“如果引入了无限大数和无限小数，这种结论应该就不准确了吧？”

“仔细想想就觉得很奇怪，概率为0的事件不一定不会发生，这种说法听起来就觉得有些不对劲。”

“还有，有限、可数无限、不可数无限，彼此之间天差地别，却都在实数轴上占据了长度为0的区域。”

“我觉得这些说法都很奇怪。”

“在普通的数学体系中不能使用n\/∞=0这个等式，因为会得到∞x0可以等于任意实数的荒谬结果。”

“所以我觉得把这些不同的事件统一称作概率为零也不准确。”

李恒点点头道：

“说得没错。”

第一种情形，在一个无限不循环的无理数中找到一个特定的有限数，概率为零。

第二种情形，在一个由全体可计算数构成的集合中找到某一个特定的有限数，概率为零。

第三种情形，寻找一个特定的有限数，但将寻找的范围扩大到由全体实数构成的实数轴，结果还是概率为零。

明明事件实现的难度应该完全不同，却把这三种情形统一称作概率为零。

李恒寻找最初那个阿基里斯所在的小世界就比上述这三种情形都要困难得多。

就算是不可数无限的力量都不足以找到那个被隐藏起来的小世界。

信息量最初的定义源于对惊奇度的衡量。

一个事件发生的可能性越低，包含的信息量就越多。

反过来也可以说，想要实现某一个特定事件，需要的信息量越多，事件发生的概率就越低。

在超实数域中，引入了e和w这两个数以后，在一个无理数中找到某一个特定有限数的概率不是0，而是实无穷小。