第一百一十九章 斯特林数

Stirling数的概念由J.Stirling于1730年提出，并在他的着作《methodous differentialis》中首次使用。

1958年，Riordan首先应用s(n，k)和S(n，k)来分别表示第一类Stirling数和第二类Stirling数。

1770年，L.Lagrenge推导出了第一类Stirling数的递推关系和数论的性质。

而p.S.Lapace和A.cauchy则在第二类Stirling数的逼近理论上取得了一些成果。

1933年，ch.Jordan在他的一篇论文中对Stirling数做了彻底的阐述，并给出了一些Stirling数的重要性质。

第一类Stirling数表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。

第一类Stirling除了表示可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上。例如很经典的解锁仓库问题。

问题说明如下：有n个仓库，每个仓库有两把钥匙，共2n把钥匙。同时又有n位官员。问如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库？（只考虑钥匙怎么放到仓库中，而不考虑官员拿哪把钥匙。）那如果官员分成m个不同的部，部中的官员数量和管理的仓库数量一致。那么有多少方案使得，同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库，而无法打开其他部管理的仓库？（同样只考虑钥匙的放置。）

第一问很经典，就是打开将钥匙放入仓库构成一个环：1号仓库放2号钥匙，2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙。这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是（n-1）!种。

而第二问就对应的将n个元素分成m个圆排列，方案数就是第一类无符号Stirling数Su（n，m）。如要要考虑官员的情况，只需再乘上n!即可。

第二类Stirling数主要是用于解决组合数学中的几类放球模型。主要是针对于球之前有区别的放球模型：

n个不同的球，放入m个无区别的盒子，不允许盒子为空。