第二百四十四章 柯西主值（微积分）

柯西之旅，数学家中一说到柯西，就有一种枯燥的感觉铺面而来。

总以为柯西喜欢去规定一些东西，以严谨着称。

其实这对柯西很冤枉，因为柯西其实恰恰是一个喜欢有各种创造的人。

他可以在数学中很多不同的方面做出各种各样让人意想不到的事情，这样的数学家正是一个让人兴奋的数学家。

因为他有华丽的思维，这是最吸引人的一面。

柯西最近就开始考虑，如何对一些不正常的函数进行积分了。

一般的积分的函数，往往都是连续可导的情况，对于不连续的函数，理所应当被归类到不可以积分的那个范围。

而柯西认为，不连续一些函数也是可以求面积，甚至是体积的。

在写法上直接那样写就行，倒也顺当，但是会看起来不合法，但是真的不合法吗？

这个从直觉上可以感知出来。

比如想函数y=1\/x*x这样的函数，在x=0是发散的。

柯西使劲看着这个函数，心中中感觉，它下包围的面积大小是可以知道的，因为这是收敛的，不是发散的。

如果在数值上是收敛的，那不就可以去认为面积不是无穷大了吗？那不就是有特定面积的？

所以，要按照微积分的基本方法去求，是不是具备一定的合理性去直接求积分，那就需要在零点处看看能不能找到一种意义，规范好了，就直接去求积分。

求积分容易，关键是需要给他找到一个合理性，这个合理性是什么？

就是连续性大致存在，而在无穷大点处也有连续不断接近的性质。

只要这样，就可以求积分。

存在的合法性，就是可以不断的接近，这种不断的接近就是一种连续性，妙哉！

在求无穷大区间的积分的时候，只需要让其变成定积分的形式，先求出积分的式子，之后让取点积分区间那个值成为一种接近无限的值。

还可以在无穷大的点哪里，取左右分开求积分那种形式，在无穷大点处也带入定值，让最后的那个积分公式取无穷来计算即可。

这种值就是柯西主值。

柯西主值是在微积分中，实数线上的某类瑕积分，为纪念柯西而得此名。

瑕积分(improper integral)是高等数学中微积分的一种，是被积函数带有瑕点的广义积分。

在物理学中有Kramers–Kronig定理，就是说响应和耗散分别是一个函数的实部和虚部，他们之间由一个柯西主值积分相联系。

实验上一般测量响应或者耗散的其中一个，然后按Kramers–Kronig定理积分取柯西主值就可以得到另一个。

这里的积分是不能收敛的，如果不取柯西主值，物理学家就无法进行下一步。