第二百四十五章 柯西奇异积分方程（反常积分）

莱布尼茨积分方程，在工程和力学上有大用。

积分号下含有未知函数的方程。对构建模型和求解过程带来很大的便利，和很高的精确度。

其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。积分方程起源于物理问题。

牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。

1823年，N.h.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。

“积分方程”一词是 p.du b.雷蒙德于1888年首先提出的。

19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。

从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。

在地质学中制作地球内部的精细三维图问题。

这种图对勘探矿产、预报地震等等都很需要，但不能采用实验的方法来制作，而只能采取间接的方法解决，一般是借助尖端的精密仪器和人造卫星精确地定出地球外部点处的地球引力位势，再利用引力位势的方法归结出关于地球内部密度的第一种弗雷德霍姆积分方程。

在空气动力学中研究分子运动，考虑非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移和热扩散，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类积分方程。

在确定飞机机翼的剖面时，需要对环流、升力、阻力等等效应进行计算，也往往导致一个积分方程（如薄翼理论的基本方程、升力线理论的方程等）。

其他如中子迁移、电磁波衍射以及经济学与人口理论等都导致奇异积分方程的研究。

柯西奇异积分方程，是在柯西主值下奇异函数，与赫雷德霍姆的奇异函数不一样。

柯西奇异积分方程上的L是复平面上一光滑闭合曲线。

柯西奇异积分方程的研究已有很长的历史，差不多在建立弗雷德霍姆理论的同时，即已出现在希尔伯特和庞加莱等人的工作中，以后经过许多数学家的努力，这一类方程的理论已发展得相当完善。它在弹性理论、空气动力学、水力学、量子场论以及数学物理等方面有着广泛的应用。